Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Дотичні із зовнішньої точки

Мат. аналізСкладне

Розгляньте всі дотичні до кривої $y = x^{3}$ , що проходять через точку $(2, 0)$ . Знайдіть суму їхніх кутових коефіцієнтів. Дайте відповідь цілим числом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть дотичну в довільній точці $(a, a^{3})$ і з’ясуйте, коли вона проходить через $(2, 0)$ .

Розв’язок

Дотична в точці $(a, a^{3})$ має кутовий коефіцієнт $3 a^{2}$ , тож її рівняння $y = a^{3} + 3 a^{2} (x - a) = 3 a^{2} x - 2 a^{3}$ .
Вона проходить через $(2, 0)$ , коли $6 a^{2} - 2 a^{3} = 0$ , тобто $2 a^{2} (3 - a) = 0$ .
Отже, $a = 0$ або $a = 3$ , що дає кутові коефіцієнти $0$ і $3 \times 9 = 27$ .
Сума кутових коефіцієнтів дорівнює $0 + 27 = 27$ .

Відповідь: $27$

Наступна задача Назад до бібліотеки