Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Повторні спроби з рівномірною виплатою

Мат. аналізСкладне

Вам виплачують $U$ доларів, де $U$ рівномірно розподілена на $[0, 1]$ . Побачивши значення, ви можете відхилити його й натомість отримати нове незалежне рівномірне значення; відхилити можна не більше $2$ разів, тож третє значення, якщо до нього дійде, треба прийняти. Яке математичне сподівання виплати в доларах за оптимальної гри? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Міркуйте з кінця: коли залишилося $n$ спроб, приймайте значення тоді й лише тоді, коли воно більше за математичне сподівання продовження.

Розв’язок

Коли залишилася лише остання спроба, сподівана виплата дорівнює $\frac{1}{2}$ .
Коли залишилося $2$ спроби, приймаємо при $U > \frac{1}{2}$ ; цінність гри $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$ .
Коли залишилося $3$ спроби, приймаємо при $U > \frac{5}{8}$ ; цінність гри дорівнює інтегралу від $u$ від $\frac{5}{8}$ до $1$ плюс $\frac{5}{8} \times \frac{5}{8}$ .
Цей інтеграл дорівнює $\frac{1 - \frac{25}{64}}{2} = \frac{39}{128}$ , а $\frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{50}{128}$ .
Отже, математичне сподівання виплати $\frac{39}{128} + \frac{50}{128} = \frac{89}{128}$ .

Відповідь: $\frac{89}{128}$

Назад до бібліотеки