Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Багаторазове множення

Лінійна алгебраСкладне

Піднесіть матрицю $A = [1120]$ (рядки розділено крапкою з комою) до степеня $8$ повторним піднесенням до квадрата або будь-яким іншим способом. Яке число стоїть у лівому верхньому куті $A^{8}$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Знайдіть власні значення; тоді кожен елемент степеня $A$ є сталою комбінацією їхніх степенів.

Розв’язок

Характеристичний многочлен $λ^{2} - λ - 2 = (λ - 2) (λ + 1)$ , тож власні значення $2$ і $- 1$ .
Отже, лівий верхній елемент $A^{n}$ має вигляд $c_{1} \times 2^{n} + c_{2} \times (- 1)^{n}$ зі сталими $c_{1}$ і $c_{2}$ .
Оскільки $A^{2} = [3122]$ , цей елемент дорівнює $1$ при $n = 1$ і $3$ при $n = 2$ , тож $2 c_{1} - c_{2} = 1$ і $4 c_{1} + c_{2} = 3$ , звідки $c_{1} = \frac{2}{3}$ і $c_{2} = \frac{1}{3}$ .
Для $n = 8$ елемент дорівнює $\frac{2}{3} \times 256 + \frac{1}{3} \times 1 = \frac{513}{3} = 171$ .

Відповідь: $171$

Назад до бібліотеки