X і Y сумісно нормальні, кожна із середнім 0 і дисперсією 1, а кореляція дорівнює 1/2. Чому дорівнює P(X > 0, Y > 0)? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Статистика

Обидва додатні

СтатистикаСкладне

$X$ і $Y$ сумісно нормальні, кожна із середнім $0$ і дисперсією $1$ , а кореляція дорівнює $\frac{1}{2}$ . Чому дорівнює $P (X > 0, Y > 0)$ ? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Розгляньте $X$ і $Y$ як проєкції круглої нормальної хмари на напрямки, косинус кута між якими дорівнює $ρ$ .

Розв’язок

Візьміть незалежні стандартні нормальні $A$ і $B$ . Точка $(A, B)$ має рівномірно випадковий напрямок. Нехай $X$ є її проєкцією на один одиничний вектор, а $Y$ проєкцією на інший, під кутом $θ$ , де $cos (θ) = \frac{1}{2}$ , тобто $θ = π /3$ .
Кожна умова залишає півплощину, а межі півплощин відтинають клин із кутом $π - π /3 = 2 π /3$ .
Імовірність дорівнює частці повного кола, $\frac{2 π /3}{2 π} = \frac{1}{3}$ .

Відповідь: $\frac{1}{3}$

Наступна задача Назад до бібліотеки