Навчання / Бібліотека / Головоломки

Стрілки поруч

ГоловоломкиСереднє

На аналоговому годиннику годинна стрілка повертається на $0, 5$ градуса за хвилину, а хвилинна — на $6$ градусів за хвилину, обидві починають прямо вгору о $12 : 00$ . Розгляньте $720$ моментів із цілою кількістю хвилин від $12 : 00$ до наступних $12 : 00$ , не включаючи їх. У скількох із них менший кут між стрілками не перевищує $30$ градусів (рівно $30$ теж підходить)?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Відносний кут зростає на $5, 5$ градуса за хвилину; порахуйте хвилини навколо кожного з $11$ моментів, коли стрілки збігаються.

Розв’язок

Після $m$ хвилин стрілки розділені кутом $5, 5 m$ градусів за модулем $360$ , тож менший кут не перевищує $30$ градусів рівно тоді, коли $11 m$ відстоїть не більше ніж на $60$ від кратного $720$ .
Навколо кожного збігу цілі хвилини $m$ з $∣11 m - 720 k ∣\leq 60$ утворюють вікно з $11$ послідовних хвилин для $k = 1, 2, ..., 10$ .
Вікна для $k = 0$ і $k = 11$ охоплюють $12 : 00$ : вони містять $6$ хвилин на початку й $5$ хвилин наприкінці періоду, які разом дають ще одне вікно з $11$ хвилин.
Є $11$ вікон по $11$ хвилин, тож кількість дорівнює $11 \times 11 = 121$ .

Відповідь: $121$

Наступна задача Назад до бібліотеки