Навчання / Бібліотека / Головоломки

Прожектори над сценою

ГоловоломкиЛегке

На сцені $50$ прожекторів із номерами від $1$ до $50$ , усі вимкнені. Освітлювачі роблять $3$ проходи: у проході $1$ перемикають кожен прожектор, у проході $2$ кожен прожектор із парним номером, а в проході $3$ кожен прожектор, номер якого кратний $3$ . Перемикання вмикає вимкнений прожектор і вимикає увімкнений. Скільки прожекторів горить після $3$ проходів?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Прожектор горить, якщо його перемкнули $1$ або $3$ рази.

Розв’язок

Кожен прожектор перемикають у проході $1$ , тож він горить тоді й лише тоді, коли проходи $2$ і $3$ разом перемикають його парну кількість разів.
Так буває, коли номер ділиться і на $2$ , і на $3$ або не ділиться на жодне з них.
До $50$ є $8$ чисел, кратних $6$ , і $50 - 25 - 16 + 8 = 17$ чисел, що не діляться на жодне з них.
Отже, горить $8 + 17 = 25$ прожекторів, і відповідь $25$ .

Відповідь: $25$

Наступна задача Назад до бібліотеки