Навчання / Бібліотека / Головоломки

Половина відчинена від початку

ГоловоломкиСкладне

$1000$ шафок мають номери від $1$ до $1000$ . Спочатку кожна шафка з парним номером відчинена, а кожна з непарним зачинена. Потім для кожного $k$ від $1$ до $1000$ учень $k$ перемикає кожну шафку, номер якої кратний $k$ , відчиняючи зачинену й зачиняючи відчинену. Скільки шафок відчинено наприкінці?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Поєднайте початковий стан із парністю кількості дільників.

Розв’язок

Шафка $n$ змінює стан один раз на кожен дільник $n$ , тож непарну кількість разів стан змінюють лише повні квадрати.
Отже, неквадрат зберігає початковий стан, а квадрат опиняється в протилежному.
До $1000$ є $31$ квадрат, бо $3 1^{2} = 961$ , а $3 2^{2} = 1024$ ; із них $15$ парних і $16$ непарних.
Наприкінці відчинені парні неквадрати, яких $500 - 15 = 485$ , і непарні квадрати, яких $16$ .
Отже, відчинено $485 + 16 = 501$ шафку.

Відповідь: $501$

Наступна задача Назад до бібліотеки