На дошці записано числа 2, 3, 4, 6 і 12. Хід полягає в тому, щоб стерти будь-які 2 числа a і b і записати замість них ab/(a + b). Після 4 ходів лишається одне число, хоч би в якому порядку робили ходи. Яке це число? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Головоломки

Злиття за дивним правилом

ГоловоломкиСереднє

На дошці записано числа $2$ , $3$ , $4$ , $6$ і $12$ . Хід полягає в тому, щоб стерти будь-які $2$ числа $a$ і $b$ і записати замість них $\frac{ab}{a + b}$ . Після $4$ ходів лишається одне число, хоч би в якому порядку робили ходи. Яке це число? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Подивіться, що хід робить з оберненими величинами чисел.

Розв’язок

Якщо $c = \frac{ab}{a + b}$ , то $\frac{1}{c} = \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .
Отже, кожен хід не змінює суму обернених величин усіх чисел на дошці.
Спочатку ця сума дорівнює $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{4}{3}$ .
Тому для останнього числа $x$ маємо $\frac{1}{x} = \frac{4}{3}$ , тож $x = 1 \div (\frac{4}{3}) = \frac{3}{4}$ .

Відповідь: $\frac{3}{4}$

Назад до бібліотеки