Тести відношення правдоподібності

Ідея: Зважте 2 версії за правдоподібністю

Поділіть імовірність даних за однією версією на ймовірність за іншою.

• Сигнал із влучністю $\frac{3}{4}$ проти монети з $\frac{1}{2}$
• Кожне влучання множить на $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$
• Кожен промах на $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$; кількість розміщень скорочується

Приклад: Сигнал влучає 6 із 8

Сигнал влучає в $6$ із $8$ угод. Яке відношення правдоподібностей для влучності $\frac{3}{4}$ проти монети?

1. Множник влучання $\frac{3}{2}$, промаху $\frac{1}{2}$
2. ${\left(\frac{3}{2}\right)}^6\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{729}{256}$

Формула: Лема Неймана-Пірсона

$\text{reject}\text{when}LR>c$

Для однієї нульової проти однієї альтернативи відхилення за великим відношенням дає найбільшу потужність за сталого розміру.

Ідея: Розмір і потужність

Розмір це шанс хибної тривоги за нульової гіпотези. Потужність це шанс помітити справжню альтернативу.

• Правило: відхиляти при $7$ або більше влучаннях із $8$
• Розмір $\frac{9}{256}\approx 0,035$, потужність $\frac{24057}{65536}\approx 0,37$
• Малі випробування пропускають справжні сигнали

Швидка перевірка: Розмір тесту

Для чесної монети яка ймовірність $7$ або більше влучань у $8$ угодах?

Формула: Теорема Вілкса

$-2\log \Lambda \approx {\chi }^2,df=\text{number}of\text{restrictions}$

Λ порівнює найкращу обмежену підгонку з найкращою вільною. За нульової гіпотези й великої вибірки це майже χ².

Приклад: Перевірка нормального середнього

$16$ денних дохідностей мають середнє $\bar{x}=\frac{3}{2}$, відоме $\sigma =4$. Нульова гіпотеза ${\mu }_0=0$. Знайдіть $-2\log \Lambda$.

1. Це дорівнює $\frac{n(\bar{x}-{\mu }_0{)}^2}{{\sigma }^2}$
2. $16\times \frac{\frac{9}{4}}{16}=\frac{9}{4}$

Ідея: Коли мірило не працює

Мірило ${\chi }^2$ потребує вкладених моделей, великої вибірки й нульових значень не на краю.

• $2,25<3,84$: приклад вище не відхиляє
• Дисперсія, яку перевіряють на нуль, лежить на краю
• Для невкладених моделей мірила немає взагалі

Типова помилка: Читати відношення як шанси істинності

$LR\approx 2,85$ це не шанси $2,85$ проти $1$, що постачальник чесний.

Натомість Воно множить ваші попередні шанси: з $\frac{1}{4}$ ви дістаєтеся близько $0,71$, і це все ще проти.

Ідея: Що сказати на співбесіді

Назвіть обидві гіпотези, підженіть обидві й порахуйте обмеження для ступенів свободи.

• Називайте розмір і потужність разом
• Не дотягує до порогу: не відхилено, а не доведено