Для деякого a > 0 дотична до y = x² у точці (a, a²) проходить через точку (1, −3). Знайдіть a. Дайте відповідь цілим числом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Дотична через точку

Мат. аналізСереднє

Для деякого $a > 0$ дотична до $y = x^{2}$ у точці $(a, a^{2})$ проходить через точку $(1, - 3)$ . Знайдіть $a$ . Дайте відповідь цілим числом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть рівняння дотичної через $a$ і вимагайте, щоб вона проходила через задану точку.

Розв’язок

Кутовий коефіцієнт у точці $x = a$ дорівнює $2 a$ , тож дотична має вигляд $y = a^{2} + 2 a (x - a) = 2 a x - a^{2}$ .
Умова для точки $(1, - 3)$ дає $2 a - a^{2} = - 3$ , тобто $a^{2} - 2 a - 3 = 0$ .
Розкладаємо на множники: $(a - 3) (a + 1) = 0$ , тож $a = 3$ або $a = - 1$ .
Підходить лише додатний корінь, отже, $a = 3$ .

Відповідь: $3$