Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Вигин оберненої функції

Мат. аналізСкладне

Нехай $f (x) = x^{3} + 2 x + 1$ ; ця функція зростає на всій числовій прямій. Нехай $g$ є оберненою до неї функцією. Знайдіть $g^{''} (4)$ . Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

З’ясуйте, яке $x$ переходить у $4$ , а потім продиференціюйте тотожність $f (g (y)) = y$ двічі.

Розв’язок

Оскільки $f (1) = 1 + 2 + 1 = 4$ , маємо $g (4) = 1$ .
Диференціювання $f (g (y)) = y$ дає $g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( g ( y ))}$ , а $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$ , тож $g^{'} (4) = \frac{1}{5}$ .
Повторне диференціювання дає $g^{''} (y) = - \frac{f ^{''} ( x )}{( f ^{'} ( x ) ) ^{3}}$ , де $x = g (y)$ .
Тут $f^{''} (x) = 6 x$ , тож $f^{''} (1) = 6$ і $f^{'} (1) = 5$ .
Отже, $g^{''} (4) = - \frac{6}{5 \times 5 \times 5} = - \frac{6}{125}$ .

Відповідь: $- \frac{6}{125}$

Наступна задача Назад до бібліотеки