Знайдіть площу області в першій чверті, обмеженої прямою y = 4x і кривою y = x³. Дайте відповідь цілим числом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Між прямою і кубічною кривою

Мат. аналізЛегке

Знайдіть площу області в першій чверті, обмеженої прямою $y = 4 x$ і кривою $y = x^{3}$ . Дайте відповідь цілим числом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Знайдіть точки перетину, а потім інтегруйте різницю верхньої та нижньої функцій.

Розв’язок

Графіки перетинаються там, де $4 x = x^{3}$ ; у першій чверті це $x = 0$ і $x = 2$ .
Між ними пряма лежить вище за криву, бо при $x = 1$ маємо $4 > 1$ .
Площа дорівнює інтегралу від $4 x - x^{3}$ від $0$ до $2$ , тобто приросту $2 x^{2} - \frac{x ^{4}}{4}$ між межами.
Це дає $8 - \frac{16}{4} = 4$ .

Відповідь: $4$