Обчисліть ∫ x(x² + 1)³ dx із нижньою межею 0 і верхньою межею 2; результат є цілим числом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Дужка в кубі

Мат. аналізСереднє

Обчисліть $\int x (x^{2} + 1)^{3} d x$ із нижньою межею $0$ і верхньою межею $2$ ; результат є цілим числом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Множник перед дужкою з точністю до сталої є похідною того, що стоїть у дужці.

Розв’язок

Зробимо заміну $u = x^{2} + 1$ , тож $d u = 2 x d x$ і $x d x = \frac{d u}{2}$ .
Межі стають $u = 1$ і $u = 4 + 1 = 5$ .
Інтеграл перетворюється на $(\frac{1}{2})$ , помножене на інтеграл від $u^{3}$ від $1$ до $5$ , тобто на $\frac{5 ^{4} - 1}{8}$ .
Оскільки $5^{4} = 625$ , він дорівнює $\frac{625 - 1}{8} = 78$ .

Відповідь: $78$