Обчисліть інтеграл від x⁵(1 − x)⁴ від 0 до 1. Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Степені на одиничному відрізку

Мат. аналізСкладне

Обчисліть інтеграл від $x^{5} (1 - x)^{4}$ від $0$ до $1$ . Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Розкриття дужки спрацює, але повільно; пошукайте формулу для інтегралів такого вигляду.

Розв’язок

Скористаємося бета-інтегралом: інтеграл від $x^{m} (1 - x)^{n}$ від $0$ до $1$ дорівнює $\frac{m ! n !}{( m + n + 1 )!}$ .
Ця формула випливає з інтегрування частинами $n$ разів, коли щоразу степінь переходить з $(1 - x)$ на $x$ .
При $m = 5$ і $n = 4$ це дає $\frac{5 ! \times 4 !}{10 !} = \frac{2880}{3628800}$ .
Після скорочення інтеграл дорівнює $\frac{2880}{3628800} = \frac{1}{1260}$ .

Відповідь: $\frac{1}{1260}$