Знайдіть границю (e^(3x) − 1 − 3x)/x² при x → 0. Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Експонента без лінійної частини

Мат. аналізСереднє

Знайдіть границю $\frac{e ^{3 x} - 1 - 3 x}{x ^{2}}$ при $x \to 0$ . Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Розкладіть $e^{3 x}$ до другого порядку або застосуйте правило Лопіталя кілька разів.

Розв’язок

Ряд Тейлора дає $e^{3 x} = 1 + 3 x + \frac{9 x ^{2}}{2} + \dots$ .
Отже, чисельник дорівнює $\frac{9 x ^{2}}{2}$ плюс доданки порядку $x^{3}$ і вище.
Після ділення на $x^{2}$ і переходу до $x \to 0$ залишається $\frac{9}{2}$ .

Відповідь: $\frac{9}{2}$