Знайдіть границю 1/(x sin x) − 1/x² при x → 0, де x у радіанах. Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Різниця великих доданків

Мат. аналізСкладне

Знайдіть границю $\frac{1}{x sin x} - \frac{1}{x ^{2}}$ при $x \to 0$ , де $x$ у радіанах. Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Зведіть до спільного знаменника й розкладіть $sin x$ у ряд настільки, щоб побачити головний доданок.

Розв’язок

Зведемо до спільного знаменника: $\frac{1}{x sin x} - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x - sin x}{x ^{2} sin x}$ .
З $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots$ чисельник дорівнює $\frac{x ^{3}}{6} + \dots$ .
Знаменник $x^{2} sin x = x^{3} + \dots$ .
Тому границя дорівнює $\frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6}$ .

Відповідь: $\frac{1}{6}$