Кути вимірюються в радіанах. До якого числа прямує (cos x)^(1/x²), коли x зменшується до 0? Округліть до 3 знаків після коми.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Косинус у великому степені

Мат. аналізСкладне

Кути вимірюються в радіанах. До якого числа прямує $(cos x)^{\frac{1}{x ^{2}}}$ , коли $x$ зменшується до $0$ ? Округліть до $3$ знаків після коми.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Прологарифмуйте, щоб перетворити невизначеність $1 \infty$ на дріб.

Розв’язок

Нехай $L$ є шуканою границею; тоді $ln L$ є границею $\frac{ln ( cos x )}{x ^{2}}$ .
Поблизу $0$ маємо $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \dots$ і $ln (1 + u) = u + \dots$ , тож $ln (cos x) = - \frac{x ^{2}}{2} + \dots$ .
Отже, $ln L = - \frac{1}{2}$ і $L = e^{- \frac{1}{2}}$ .
Оскільки $e^{- \frac{1}{2}} \approx 0, 60653$ , границя дорівнює $\approx 0, 607$ .

Відповідь: $\approx 0, 607$