Для x у радіанах обчисліть границю (tan 2x − 2x)/(x − sin x), коли x прямує до 0. Відповідь є цілим числом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Тангенс проти синуса

Мат. аналізСкладне

Для $x$ у радіанах обчисліть границю $\frac{tan 2 x - 2 x}{x - sin x}$ , коли $x$ прямує до $0$ . Відповідь є цілим числом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Чисельник і знаменник прямують до нуля з однаковим порядком; порівняйте їхні головні доданки.

Розв’язок

З розкладу $tan u = u + \frac{u ^{3}}{3} + \dots$ при $u = 2 x$ маємо $tan 2 x - 2 x = \frac{8 x ^{3}}{3} + \dots$ .
Аналогічно $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots$ , тож $x - sin x = \frac{x ^{3}}{6} + \dots$ .
Відношення головних доданків $\frac{\frac{8}{3}}{\frac{1}{6}} = 16$ .
Отже, границя дорівнює $16$ .

Відповідь: $16$