Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Відкрита коробка

Мат. аналізСереднє

З прямокутного аркуша картону $18$ см на $48$ см вирізають однакові квадрати зі стороною $x$ см у $4$ кутах і загинають краї, щоб вийшла відкрита коробка. Який найбільший можливий об’єм коробки, у см³? Дайте відповідь цілим числом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть об’єм як кубічний многочлен від $x$ і залиште лише ту критичну точку, яка дає справжню коробку.

Розв’язок

Коробка має висоту $x$ , ширину $18 - 2 x$ і довжину $48 - 2 x$ , тож $V (x) = x (18 - 2 x) (48 - 2 x) = 4 x^{3} - 132 x^{2} + 864 x$ при $0 < x < 9$ .
Тоді $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 264 x + 864 = 12 (x - 4) (x - 18)$ .
У допустимий проміжок потрапляє лише $x = 4$ , а $V$ дорівнює $0$ на кінцях проміжку, тож це максимум.
Коробка має розміри $4$ на $10$ на $40$ , тож найбільший об’єм $4 \times 10 \times 40 = 1600$ .

Відповідь: $1600$

Наступна задача Назад до бібліотеки