Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Колода за рогом

Мат. аналізСкладне

Прямий канал завширшки $8$ м під прямим кутом сходиться з іншим каналом завширшки $27$ м. Яку найдовшу тонку колоду можна провести за ріг, тримаючи її горизонтально на воді? Вважайте колоду відрізком і дайте її довжину в метрах, округливши до $3$ знаків після коми.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Найдовша колода, що проходить, дорівнює найкоротшому відрізку, який торкається внутрішнього кута й зовнішніх стін; мінімізуйте його довжину за кутом.

Розв’язок

Відрізок під кутом $θ$ до стіни першого каналу, що торкається внутрішнього кута, має довжину $L (θ) = \frac{8}{sin θ} + \frac{27}{cos θ}$ при $0 < θ < π /2$ .
Умова $L^{'} (θ) = 0$ дає $8 cos^{3} θ = 27 sin^{3} θ$ , тож $tan θ = \frac{2}{3}$ .
Тоді $sin θ = \frac{2}{13}$ і $cos θ = \frac{3}{13}$ , тож $L = 413 + 913 = 1313$ .
Оскільки $1313 \approx 46, 8722$ , найдовша колода має $L \approx 46, 872$ м.

Відповідь: $\approx 46, 872$

Наступна задача Назад до бібліотеки