Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Ставка за вживаний верстат

Мат. аналізСкладне

Продавець знає вартість $V$ вживаного верстата, яка рівномірно розподілена на $[0, 1]$ . Ви робите одну остаточну ставку $b$ , де $0 \leq b \leq 1$ , і продавець погоджується тоді й лише тоді, коли $V \leq b$ . Ви експлуатуєте верстат краще, тож для вас він вартий $V + \frac{1}{4}$ . Якщо продавець погоджується, ваш прибуток $V + \frac{1}{4} - b$ , інакше $0$ . Яке найбільше можливе математичне сподівання вашого прибутку? Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Прибуток виникає лише тоді, коли продавець погоджується, тож інтегруйте за тими значеннями, за яких він погоджується.

Розв’язок

Математичне сподівання прибутку дорівнює інтегралу від $v + \frac{1}{4} - b$ від $0$ до $b$ , бо густина $V$ дорівнює $1$ .
Цей інтеграл дорівнює $\frac{b ^{2}}{2} + \frac{b}{4} - b^{2} = \frac{b}{4} - \frac{b ^{2}}{2}$ .
Його похідна $\frac{1}{4} - b$ дорівнює нулю при $b = \frac{1}{4}$ , а графік є параболою з вітками вниз, тож це найкраща ставка.
Найбільше математичне сподівання прибутку $\frac{1}{16} - \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$ .

Відповідь: $\frac{1}{32}$

Наступна задача Назад до бібліотеки