Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Число у власному степені

Мат. аналізСкладне

Знайдіть найменше значення $f (x) = x^{x}$ для всіх дійсних $x > 0$ , округливши до $3$ знаків після коми.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Мінімізуйте натомість логарифм $f$ : він має ту саму точку мінімуму.

Розв’язок

Запишемо $ln f (x) = x ln x$ ; похідна цього виразу дорівнює $ln x + 1$ .
Похідна дорівнює нулю при $x = \frac{1}{e}$ , до цієї точки від’ємна, а після неї додатна, тож це мінімум.
У цій точці $ln f = - \frac{1}{e}$ , тож найменше значення $e^{- \frac{1}{e}}$ .
Оскільки $\frac{1}{e} \approx 0, 36788$ , мінімум дорівнює $e^{- 0, 36788} \approx 0, 692$ .

Відповідь: $\approx 0, 692$