Зважена геометрична сума

Продиференціюйте геометричний ряд $\sum x^k$ і помножте на $x$.

1. При $|x\mid <1$ сума $x^k$ за $k\ge 0$ дорівнює $\frac{1}{1-x}$.
2. Диференціювання й множення на $x$ дає $\sum k{x}^k=\frac{x}{(1-x{)}^2}$.
3. При $x=\frac{1}{4}$ квадрат у знаменнику дорівнює $\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$.
4. Отже, сума дорівнює $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}}=\frac{4}{9}$.

Відповідь: $\frac{4}{9}$