Випадкова величина X має густину f(x) = c x(1 − x) при 0 ≤ x ≤ 1 і 0 поза цим відрізком, де c є сталою. Знайдіть P(X < 1/3). Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Ймовірність за густиною

Мат. аналізСереднє

Випадкова величина $X$ має густину $f (x) = c x (1 - x)$ при $0 \leq x \leq 1$ і $0$ поза цим відрізком, де $c$ є сталою. Знайдіть $P (X < \frac{1}{3})$ . Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Спершу виберіть $c$ так, щоб інтеграл густини дорівнював $1$ .

Розв’язок

Інтеграл від $x - x^{2}$ від $0$ до $1$ дорівнює $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ , тож $c = 6$ .
Функція розподілу $F (a) = 3 a^{2} - 2 a^{3}$ при $0 \leq a \leq 1$ .
При $a = \frac{1}{3}$ це $3 \times \frac{1}{9} - 2 \times \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$ .
Отже, $P (X < \frac{1}{3}) = \frac{7}{27}$ .

Відповідь: $\frac{7}{27}$

Наступна задача Назад до бібліотеки