X і Y є незалежними випадковими величинами, кожна з густиною f(t) = 2t при 0 ≤ t ≤ 1 і 0 поза цим відрізком. Знайдіть E[|X − Y|]. Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Відстань між випадковими точками

Мат. аналізСкладне

$X$ і $Y$ є незалежними випадковими величинами, кожна з густиною $f (t) = 2 t$ при $0 \leq t \leq 1$ і $0$ поза цим відрізком. Знайдіть $E [∣ X - Y ∣]$ . Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

З міркувань симетрії обчисліть сподівання по області $y < x$ і подвойте його.

Розв’язок

Спільна густина дорівнює $4 x y$ на одиничному квадраті, а області $y < x$ і $y > x$ дають однаковий внесок.
При фіксованому $x$ інтеграл від $(x - y) \times 4 x y$ за $0 \leq y \leq x$ дорівнює $4 x (\frac{x ^{3}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}) = \frac{2 x ^{4}}{3}$ .
Інтегрування за $0 \leq x \leq 1$ дає $\frac{2}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ .
Подвоївши для іншої області, маємо $E [∣ X - Y ∣] = 2 \times \frac{2}{15} = \frac{4}{15}$ .

Відповідь: $\frac{4}{15}$

Наступна задача Назад до бібліотеки