Знайдіть суму Σ k² × (1/3)^k за k = 1, 2, 3, …. Дайте відповідь нескоротним дробом.

Навчання / Бібліотека / Мат. аналіз

Квадрати з геометричними вагами

Мат. аналізСкладне

Знайдіть суму $\sum k^{2} \times (\frac{1}{3})^{k}$ за $k = 1, 2, 3, \dots$ . Дайте відповідь нескоротним дробом.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Застосуйте до геометричного ряду операцію диференціювання з наступним множенням на $x$ , і не один раз.

Розв’язок

Почавши з $\sum x^{k} = \frac{1}{1 - x}$ і застосувавши $x \frac{d}{d x}$ один раз, отримуємо $\sum k x^{k} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ .
Повторне застосування дає $\sum k^{2} x^{k} = \frac{x ( 1 + x )}{( 1 - x ) ^{3}}$ .
При $x = \frac{1}{3}$ чисельник дорівнює $\frac{1}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$ , а знаменник $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$ .
Отже, сума дорівнює $\frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{3}{2}$ .

Відповідь: $\frac{3}{2}$