Порахуйте впорядковані набори з 4 цілих чисел (x1, x2, x3, x4), де 0 ≤ xi ≤ 5 для кожного i та x1 + x2 + x3 + x4 = 15.

Навчання / Бібліотека / Комбінаторика

Обмежені четвірки цілих

КомбінаторикаСереднє

Порахуйте впорядковані набори з $4$ цілих чисел $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ , де $0 \leq x i \leq 5$ для кожного $i$ та $x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15$ .

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Віддзеркаліть кожну змінну відносно середини її діапазону, щоб сума стала малою.

Розв’язок

Зробіть заміну $y i = 5 - x i$ , тоді $0 \leq y i \leq 5$ і $y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 5$ .
Верхня межа $y i \leq 5$ виконується автоматично, бо сума дорівнює $5$ .
Тож рахуємо невід’ємні розв’язки, що дає $(3 5 + 3) = (3 8)$ .
Обчислюємо $(3 8) = 56$ .
Кількість наборів дорівнює $56$ .

Відповідь: $56$