Навчання / Бібліотека / Комбінаторика

Четвірки з парним доданком

КомбінаторикаСкладне

Знайдіть кількість впорядкованих наборів з $4$ невід’ємних цілих чисел $(a, b, c, d)$ , де $a + b + c + d = 20$ і $a$ парне.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Зафіксуйте парне значення першого числа, порахуйте решту й додайте результати.

Розв’язок

Запишіть $a = 2 k$ за умови $0 \leq k \leq 10$ , тоді $b + c + d = 20 - 2 k$ .
Для кожного $k$ за методом зірочок і перегородок маємо $(2 22 - 2 k)$ розв’язків.
Нехай $m = 20 - 2 k$ , воно пробігає парні значення від $0$ до $20$ , тож доданки $(2 m + 2)$ дорівнюють $1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 120 + 153 + 190 + 231$ .
Додавання цих доданків дає загальну кількість.
Кількість наборів дорівнює $946$ .

Відповідь: $946$