У грі 9 карток із номерами від 1 до 9 рівномірно випадково перемішують і розкладають на позиції від 1 до 9. Вам виплачують X² доларів, де X — кількість карток, номер яких збігається з позицією. Яке математичне сподівання виплати в доларах?

Навчання / Бібліотека / Комбінаторика

Виплата за квадрат збігів

КомбінаторикаСкладне

У грі $9$ карток із номерами від $1$ до $9$ рівномірно випадково перемішують і розкладають на позиції від $1$ до $9$ . Вам виплачують $X^{2}$ доларів, де $X$ — кількість карток, номер яких збігається з позицією. Яке математичне сподівання виплати в доларах?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Розкрийте $X^{2}$ через індикатори й окремо розгляньте пари різних позицій.

Розв’язок

Запишемо $X = I_{1} + I_{2} + ... + I_{9}$ , де $I_{i}$ показує, що на позиції $i$ лежить картка $i$ .
Для кожного $i$ маємо $E (I_{i}) = \frac{1}{9}$ та $I_{i}^{2} = I_{i}$ , тож діагональні доданки дають $9 \times \frac{1}{9} = 1$ .
Для $i \neq = j$ маємо $E (I_{i} \times I_{j}) = \frac{1}{9 \times 8} = \frac{1}{72}$ , упорядкованих пар $9 \times 8 = 72$ , тож вони дають $72 \times \frac{1}{72} = 1$ .
Отже, $E (X^{2}) = 1 + 1 = 2$ .
Відповідь: $2$ .

Відповідь: $2$

Наступна задача Назад до бібліотеки