Навчання / Бібліотека / Комбінаторика

Повернення бейджів

КомбінаторикаСкладне

$7$ людей з номерами від $1$ до $7$ мають по різному бейджу з тим самим номером. Бейджі повертають у довільному порядку, і кожна людина отримує рівно один. У скількох із $7!$ повернень жодна з людей від $1$ до $4$ не отримує власний бейдж? Люди від $5$ до $7$ можуть отримати свої або ні.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Застосуй принцип включень і виключень до людей з обмеженої групи, які отримали власний бейдж.

Розв’язок

Якщо вибрана множина з $k$ людей серед перших $4$ усі отримали власні бейджі, решту бейджів можна роздати $(7 - k)!$ способами.
За принципом включень і виключень кількість дорівнює $7! - 4 \times 6! + 6 \times 5! - 4 \times 4! + 3!$ , бо є $(k 4)$ виборів множини.
Це дорівнює $5040 - 2880 + 720 - 96 + 6 = 2790$ .

Відповідь: $2790$

Наступна задача Назад до бібліотеки