Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Піки у випадковому ряду

Мат. сподіванняСкладне

Кулі з номерами від $1$ до $10$ розставляють у ряд у рівномірно випадковому порядку. Куля на одній із позицій від $2$ до $9$ є піком, якщо її номер більший за номери обох сусідів. Яке математичне сподівання кількості піків? Відповідь подайте дробом a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Для однієї внутрішньої позиції розгляньте лише відносний порядок $3$ куль на позиціях i− $1$ , i та i+ $1$ .

Розв’язок

Візьмемо внутрішню позицію та її $2$ сусідів. Ці $3$ кулі з однаковою ймовірністю мають будь-який відносний порядок.
Середня позиція є піком саме тоді, коли найбільша з $3$ куль стоїть посередині, а це має імовірність $\frac{1}{3}$ .
Внутрішніх позицій $8$ , від $2$ до $9$ .
За лінійністю сподівання дорівнює $8 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$ .

Відповідь: $\frac{8}{3}$

Наступна задача Назад до бібліотеки