Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Рекордні ціни в послідовності

Мат. сподіванняСкладне

$8$ угод з різними цінами надходять у рівномірно випадковому порядку. Угода є рекордом, якщо її ціна вища за всі попередні, тож перша угода завжди рекорд. Яке математичне сподівання кількості рекордів? Відповідь подайте дробом a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Для позиції $k$ важливий лише відносний порядок перших $k$ цін. Де має стояти найбільша з них?

Розв’язок

Позиція $k$ є рекордом саме тоді, коли найбільша з перших $k$ цін стоїть на позиції $k$ .
За симетрією ця найбільша ціна з однаковою ймовірністю стоїть на будь-якій із перших $k$ позицій, тож імовірність дорівнює $\frac{1}{k}$ .
За лінійністю сподівання дорівнює $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$ .
Зі спільним знаменником $840$ чисельники дають $840 + 420 + 280 + 210 + 168 + 140 + 120 + 105 = 2283$ , тож сума дорівнює $\frac{2283}{840}$ .
У нескоротному вигляді це $\frac{761}{280}$ .

Відповідь: $\frac{761}{280}$

Наступна задача Назад до бібліотеки