Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Серії в послідовності кольорів

Мат. сподіванняСкладне

$4$ червоні кулі та $6$ синіх куль розташовують у ряд, причому кожне різне розташування кольорів рівноймовірне. Серія — це максимальний блок послідовних куль одного кольору. Яке математичне сподівання кількості серій? Відповідь подайте дробом a/b у нескоротному вигляді.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Кількість серій дорівнює $1$ плюс кількість сусідніх пар із різними кольорами.

Розв’язок

Кожна межа між серіями — це сусідня пара з різними кольорами, тож серій $= 1 +$ кількість таких пар.
У ряду $9$ сусідніх пар. Для однієї пари ймовірність «червона, потім синя» дорівнює $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9}$ , і так само для «синя, потім червона».
Отже, пара різнокольорова з імовірністю $2 \times \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{8}{15}$ .
За лінійністю сподівання кількості різнокольорових пар дорівнює $9 \times \frac{8}{15} = \frac{24}{5}$ .
Додавши $1$ , отримуємо $\frac{29}{5}$ .

Відповідь: $\frac{29}{5}$

Наступна задача Назад до бібліотеки