Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Необмежені платні перекидання

Мат. сподіванняСкладне

Ви кидаєте справедливий $6$ -гранний кубик. Після кожного кидка можна зупинитися і взяти грань як виплату або заплатити комісію $2$ і кинути знову. Кількість перекидань не обмежена. Чиста виплата дорівнює останній грані мінус сумарна комісія. Яке математичне сподівання чистої виплати перед першим кидком при оптимальній грі?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Нехай $V$ буде цінністю перед кидком; перекидання відновлює гру за плату, що дає рівняння для самої $V$ .

Розв’язок

Нехай $V$ буде оптимальним математичним сподіванням перед кидком. Побачивши грань $f$ , ви або залишаєте $f$ , або платите $2$ і починаєте заново, що вартує $V - 2$ .
Отже, ви залишаєте $f$ саме тоді, коли $f \geq V - 2$ , а $V$ задовольняє $V = E [max (f, V - 2)]$ .
Припустімо, що залишаються грані від $2$ до $6$ : $V = \frac{20 + ( V - 2 )}{6}$ , тож $5 V = 18$ .
Тоді $V - 2 = 1, 6$ , тому грань $1$ перекидається, а грань $2$ залишається, що підтверджує припущення.
Математичне сподівання чистої виплати дорівнює $\frac{18}{5}$ .

Відповідь: $\frac{18}{5}$

Наступна задача Назад до бібліотеки