Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Перекидання перед двобоєм

Мат. сподіванняСкладне

Гравець A кидає справедливий $6$ -гранний кубик і може перекинути його один раз, тоді зберігається другий результат. Потім гравець B незалежно кидає один справедливий $6$ -гранний кубик без перекидання. A виграє лише тоді, коли кінцева грань A строго більша за грань B; нічия і менші грані не є виграшем. Якщо A максимізує ймовірність виграшу, яка це ймовірність?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Знайдіть ймовірність виграшу для кожної грані A, а потім порівняйте її із середнім за новий кидок.

Розв’язок

Якщо в A грань $a$ , ймовірність виграшу дорівнює $\frac{a - 1}{6}$ .
Новий кидок має середню ймовірність виграшу $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .
A залишає $a$ саме тоді, коли $\frac{a - 1}{6} > \frac{5}{12}$ , тобто $a \geq 4$ .
Залишення $4$ , $5$ або $6$ дає внесок $\frac{3 + 4 + 5}{36} = \frac{1}{3}$ .
Перекидання відбувається з імовірністю $\frac{1}{2}$ і дає внесок $\frac{1}{2} \times \frac{5}{12} = \frac{5}{24}$ .
Загалом $\frac{1}{3} + \frac{5}{24} = \frac{13}{24}$ .

Відповідь: $\frac{13}{24}$

Наступна задача Назад до бібліотеки