Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Виплата за квадрат серії

Мат. сподіванняСереднє

Чесну монету підкидають багаторазово й незалежно до першої решки. Нехай $K$ — кількість орлів до цієї решки. Вам виплачують $K^{2}$ . Яке математичне сподівання виплати?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Розгляньте перше підкидання: після орла процес починається знову, а лічильник зсувається на $1$ .

Розв’язок

Нехай $m = E [K^{2}]$ , і зауважте, що $E [K] = 1$ для цієї геометричної кількості.
З імовірністю $\frac{1}{2}$ перше підкидання дає решку, і $K = 0$ .
З імовірністю $\frac{1}{2}$ випадає орел, і тоді $K = 1 + K^{'}$ , де $K^{'}$ — нова незалежна копія $K$ .
Отже, $m = (\frac{1}{2}) \times E [(1 + K^{'})^{2}] = (\frac{1}{2}) \times (1 + 2 \times 1 + m)$ .
Звідси $m = \frac{3}{2} + \frac{m}{2}$ , тобто $m = 3$ .

Відповідь: $3$

Наступна задача Назад до бібліотеки