Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Випадкове блукання банкролу

Мат. сподіванняСкладне

Ви починаєте з банкролом $3$ . У кожному раунді незалежно підкидають чесну монету: орел виграє $1$ , решка програє $1$ . Ви зупиняєтеся, щойно банкрол досягне $0$ або $7$ . Яке математичне сподівання кількості зіграних раундів?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Знайдіть функцію банкролу, яка в середньому спадає рівно на $1$ за раунд і дорівнює нулю на обох межах.

Розв’язок

Нехай $T (k)$ — математичне сподівання решти раундів з банкролу $k$ , причому $T (0) = T (7) = 0$ .
Для $0 < k < 7$ маємо $T (k) = 1 + \frac{T ( k - 1 ) + T ( k + 1 )}{2}$ .
Спробуємо $T (k) = k \times (7 - k)$ . Середнє сусідніх значень дорівнює $T (k) - 1$ , що відповідає рівнянню, і функція зникає на обох кінцях.
Отже, $T (3) = 3 \times 4$ .
Математичне сподівання кількості раундів дорівнює $12$ .

Відповідь: $12$

Наступна задача Назад до бібліотеки