Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Платні перекидання

Мат. сподіванняСереднє

Кидають правильний $6$ -гранний кубик. Ви можете залишити результат і отримати стільки доларів, скільки випало очок, або заплатити $1, 5$ долара й кинути знову; після кожного нового кидка можна знову залишити результат або заплатити $1, 5$ за перекидання, без обмежень. Перший кидок безкоштовний. Яке математичне сподівання чистої виплати за оптимальної гри?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Позначте цінність нового кидка невідомою й складіть для неї рівняння самоузгодженості.

Розв’язок

Нехай $W$ — очікувана чиста виплата перед кидком; побачивши $x$ , ви отримуєте кращий варіант із $x$ і $W - \frac{3}{2}$ .
Припустімо, що ви залишаєте $3$ , $4$ , $5$ і $6$ , тоді $W = \frac{18}{6} + \frac{2}{6} \times (W - \frac{3}{2})$ , звідки $\frac{2 W}{3} = \frac{5}{2}$ .
Тоді $W = \frac{15}{4}$ , отже $W - \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ лежить між $2$ і $3$ , що підтверджує припущення.
Оптимальна очікувана чиста виплата дорівнює $\frac{15}{4}$ .

Відповідь: $\frac{15}{4}$

Наступна задача Назад до бібліотеки