Ваш банк починається з 0 доларів. Ви можете натиснути кнопку щонайбільше 5 разів. Кожне натискання, незалежно від інших, додає 4 долари з імовірністю 3/4, а з імовірністю 1/4 обнуляє банк і завершує гру з 0. Перед кожним натисканням можна зупинитися й забрати банк. Яке математичне сподівання кінцевого банку за оптимальної гри?

Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Ризик зростання банку

Мат. сподіванняСкладне

Ваш банк починається з $0$ доларів. Ви можете натиснути кнопку щонайбільше $5$ разів. Кожне натискання, незалежно від інших, додає $4$ долари з імовірністю $\frac{3}{4}$ , а з імовірністю $\frac{1}{4}$ обнуляє банк і завершує гру з $0$ . Перед кожним натисканням можна зупинитися й забрати банк. Яке математичне сподівання кінцевого банку за оптимальної гри?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Знайдіть розмір банку, за якого ще одне натискання перестає бути вигідним.

Розв’язок

Для банку $b$ ще одне натискання коштує $\frac{3}{4} \times (b + 4)$ , що більше за $b$ рівно тоді, коли $b < 12$ .
Отже, ви натискаєте, доки банк не досягне $12$ (на $12$ вам байдуже), і тоді зупиняєтесь.
Щоб дійти до $12$ , потрібно $3$ вдалі натискання підряд, що вкладається в $5$ натискань і має імовірність $(\frac{3}{4})^{3} = \frac{27}{64}$ .
Очікуваний кінцевий банк дорівнює $\frac{27}{64} \times 12 = \frac{81}{16}$ .

Відповідь: $\frac{81}{16}$

Наступна задача Назад до бібліотеки