Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Залишаємо $2$ найкращі

Мат. сподіванняСкладне

Кидають $4$ правильні $6$ -гранні кубики. Виплата в доларах дорівнює сумі $2$ найбільших результатів. Яке математичне сподівання виплати?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Запишіть суму $2$ найбільших як суму порогових лічильників: сума min( $2$ , N_m) за m, де N_m — кількість кубиків не менших за m.

Розв’язок

Сума $2$ найбільших кубиків дорівнює сумі за $m = 1, \dots, 6$ величин $min (2, N_{m})$ , де $N_{m}$ — кількість кубиків, що показують не менше за $m$ , а $E [min (2, N)] = P (N \geq 1) + P (N \geq 2)$ .
З імовірністю успіху $q = \frac{7 - m}{6}$ і біноміальним $N_{m}$ на $4$ кубиках внески в одиницях $1296$ становлять $2592$ , $2570$ , $2432$ , $2106$ , $1568$ і $842$ для $m = 1, \dots, 6$ .
Їхня сума дорівнює $2592 + 2570 + 2432 + 2106 + 1568 + 842 = 12110$ .
Очікувана виплата дорівнює $\frac{12110}{1296} = \frac{6055}{648}$ .

Відповідь: $\frac{6055}{648}$