Мандрівник стартує з 0 і робить 4 кроки, кожен незалежно +1 або −1 з імовірністю 1/2. Нехай M — найвища досягнута позиція, враховуючи старт. Чому дорівнює E[M]?

Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Пік короткого блукання

Мат. сподіванняСкладне

Мандрівник стартує з $0$ і робить $4$ кроки, кожен незалежно $+ 1$ або $- 1$ з імовірністю $\frac{1}{2}$ . Нехай $M$ — найвища досягнута позиція, враховуючи старт. Чому дорівнює $E [M]$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Скористайтеся принципом відображення, щоб знайти P(M ≥ k).

Розв’язок

Кінцева позиція $S$ набуває значень $- 4, - 2, 0, 2, 4$ з імовірностями $\frac{1}{16}, \frac{4}{16}, \frac{6}{16}, \frac{4}{16}, \frac{1}{16}$ .
За принципом відображення $P (M \geq k) = P (S \geq k) + P (S > k)$ , що дає $\frac{10}{16}$ , $\frac{6}{16}$ , $\frac{2}{16}$ і $\frac{1}{16}$ для $k = 1, 2, 3, 4$ .
Тоді $E [M] = \sum P (M \geq k)$ дорівнює $\frac{10 + 6 + 2 + 1}{16}$ .
Це дорівнює $\frac{19}{16}$ .

Відповідь: $\frac{19}{16}$

Наступна задача Назад до бібліотеки