За кожен поставлений долар ставка повертає прибуток 1 долар з імовірністю 1/2, а з імовірністю 1/2 втрачає лише половину ставки (збиток 1/2 долара). Щоразу ви ставите частку f капіталу, де 0 < f < 1, щоб максимізувати очікуваний логарифм капіталу. Чому дорівнює f?

Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Ставка з частковою втратою

Мат. сподіванняСкладне

За кожен поставлений долар ставка повертає прибуток $1$ долар з імовірністю $\frac{1}{2}$ , а з імовірністю $\frac{1}{2}$ втрачає лише половину ставки (збиток $\frac{1}{2}$ долара). Щоразу ви ставите частку $f$ капіталу, де $0 < f < 1$ , щоб максимізувати очікуваний логарифм капіталу. Чому дорівнює $f$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Продиференціюйте очікуваний логарифмічний приріст і прирівняйте до нуля.

Розв’язок

Капітал множиться на $1 + f$ або на $1 - \frac{f}{2}$ , кожне з імовірністю $\frac{1}{2}$ .
Похідна очікуваного логарифмічного приросту дорівнює $\frac{1}{2 ( 1 + f )} - \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{f}{2}} = \frac{1}{2 + 2 f} - \frac{1}{4 - 2 f}$ .
Прирівнявши її до нуля, отримуємо $2 + 2 f = 4 - 2 f$ , тож $f = \frac{1}{2}$ .

Відповідь: $\frac{1}{2}$

Наступна задача Назад до бібліотеки