Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Рекордні максимуми кубика

Мат. сподіванняСкладне

Правильний $6$ -гранний кубик кидають $5$ разів. Кидок є рекордом, якщо він строго більший за всі попередні (перший кидок теж рекорд). Яке математичне сподівання кількості рекордів?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Обчисліть імовірність того, що кидок k перевершує всі k − $1$ попередні, враховуючи рівність.

Розв’язок

Кидок з номером $k$ є рекордом з імовірністю $\sum (\frac{1}{6}) \times (\frac{v - 1}{6})^{k - 1}$ за гранями $v = 1, \dots, 6$ , бо всі попередні кидки мають бути меншими за $v$ .
Це дає $1$ , $\frac{15}{36}$ , $\frac{55}{216}$ , $\frac{225}{1296}$ і $\frac{979}{7776}$ для $k = 1, \dots, 5$ .
На знаменнику $7776$ чисельники дорівнюють $7776$ , $3240$ , $1980$ , $1350$ і $979$ , а їхня сума — $15325$ .
Очікування дорівнює $\frac{15325}{7776}$ .

Відповідь: $\frac{15325}{7776}$

Наступна задача Назад до бібліотеки