Результат стратегії стартує з 0. За кожен крок він зростає на 1 з імовірністю 2/3 і падає на 1 з імовірністю 1/3, незалежно. Він зупиняється на +2 або на −1, залежно від того, що настане раніше. Яке очікуване число кроків? Дайте нескоротний дріб.

Навчання / Бібліотека / Мат. сподівання

Зміщене блукання між стопами

Мат. сподіванняСкладне

Результат стратегії стартує з $0$ . За кожен крок він зростає на $1$ з імовірністю $\frac{2}{3}$ і падає на $1$ з імовірністю $\frac{1}{3}$ , незалежно. Він зупиняється на $+ 2$ або на $- 1$ , залежно від того, що настане раніше. Яке очікуване число кроків? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Використайте $(\frac{1}{2})^{S_{t}}$ для шансів виходу, а потім $S_{t} - \frac{t}{3}$ для часу.

Розв’язок

За $r = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$ опціональна зупинка для $r^{S_{t}}$ дає $P \times (\frac{1}{4}) + (1 - P) \times 2 = 1$ , тож $P = \frac{2 - 1}{2 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{7}$ .
Очікувана кінцева точка дорівнює $(\frac{4}{7}) \times 2 - (\frac{3}{7}) \times 1 = \frac{5}{7}$ .
Кожен крок має середнє $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ , а $S_{t} - \frac{t}{3}$ це мартингал, тож очікуваний час дорівнює $\frac{\frac{5}{7}}{\frac{1}{3}} = \frac{15}{7}$ .

Відповідь: $\frac{15}{7}$

Наступна задача Назад до бібліотеки