Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Розтягнутий одиничний квадрат

Лінійна алгебраЛегке

Лінійне відображення площини переводить вектор $(1, 0)$ у $(3, 1)$ , а вектор $(0, 1)$ у $(2, 5)$ . У скільки разів воно збільшує площу будь-якої області? Дайте коефіцієнт як додатне ціле число.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Образ одиничного квадрата є паралелограмом, сторонами якого є образи базисних векторів.

Розв’язок

Стовпцями матриці відображення є образи базисних векторів: $A = [3125]$ .
Кожна площа множиться на $∣ det (A) ∣$ , тобто на площу образу одиничного квадрата.
Тут $det (A) = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 13$ , і це число додатне, тож відображення ще й зберігає орієнтацію.
Отже, кожна площа зростає в $13$ разів.

Відповідь: $13$

Наступна задача Назад до бібліотеки