Вершини тетраедра

Об’єм паралелепіпеда, натягнутого на $3$ ребра з початку координат, дає визначник, а тетраедр займає сталу частку цього паралелепіпеда.

1. Ребра з початку координат такі: $(2,1,0)$, $(1,3,1)$ і $(0,1,4)$; запишімо їх рядками матриці $M=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 3& 1\\ 0& 1& 4\end{array}\right]$.
2. Розклад за рядком $1$ дає $\det (M)=2\times (3\times 4-1\times 1)-1\times (1\times 4-1\times 0)+0=22-4=18$.
3. Паралелепіпед на цих ребрах має об’єм $18$, а тетраедр на тих самих ребрах займає $\frac{1}{6}$ від нього.
4. Отже, об’єм дорівнює $\frac{18}{6}=3$.

Відповідь: $3$