Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Стрічкова матриця

Лінійна алгебраСкладне

Нехай $T$ є матрицею $6 \times 6$ , усі діагональні елементи якої дорівнюють $3$ , усі елементи безпосередньо над діагоналлю чи під нею дорівнюють $1$ , а решта елементів дорівнюють $0$ . Обчисліть $det (T)$ .

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Розкладіть за першим рядком і шукайте рекурентне співвідношення між визначниками менших матриць того самого вигляду.

Розв’язок

Нехай $D_{n}$ є визначником матриці $n \times n$ такого вигляду, тоді $D_{1} = 3$ і $D_{2} = 3 \times 3 - 1 \times 1 = 8$ .
Розклад за рядком $1$ дає $D_{n} = 3 D_{n - 1} - D_{n - 2}$ : діагональна $3$ лишає меншу матрицю того самого вигляду, а сусідня $1$ лишає мінор, у першому стовпці якого стоїть лише одна $1$ .
Тоді $D_{3} = 3 \times 8 - 3 = 21$ , $D_{4} = 3 \times 21 - 8 = 55$ і $D_{5} = 3 \times 55 - 21 = 144$ .
Нарешті, $D_{6} = 3 \times 144 - 55 = 377$ .

Відповідь: $377$

Наступна задача Назад до бібліотеки