Дійсна матриця A розміру 2 × 2 має слід 9 і визначник 20. Чому дорівнює слід A²?

Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Слід квадрата

Лінійна алгебраСереднє

Дійсна матриця $A$ розміру $2 \times 2$ має слід $9$ і визначник $20$ . Чому дорівнює слід $A^{2}$ ?

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Виразіть слід $A^{2}$ через власні значення $A$ .

Розв’язок

Якщо $A$ має власні значення $λ_{1}$ і $λ_{2}$ , то $λ_{1} + λ_{2} = 9$ і $λ_{1} λ_{2} = 20$ .
Власні значення $A^{2}$ дорівнюють $λ_{1}^{2}$ і $λ_{2}^{2}$ , тож $tr (A^{2}) = λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2}$ .
Тоді $λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} = (λ_{1} + λ_{2})^{2} - 2 λ_{1} λ_{2} = 81 - 40 = 41$ .

Відповідь: $41$