Матриця A розміру 3 × 3 має власні значення 1, 2 і 4. Обчисліть det(A² − 2A + 3I).

Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

Многочлен від матриці

Лінійна алгебраСереднє

Матриця $A$ розміру $3 \times 3$ має власні значення $1$ , $2$ і $4$ . Обчисліть $det (A^{2} - 2 A + 3 I)$ .

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Многочлен від $A$ діє на кожен власний вектор $A$ як той самий многочлен від власного значення.

Розв’язок

Нехай $p (t) = t^{2} - 2 t + 3$ ; тоді $p (A)$ має власні значення $p (1)$ , $p (2)$ і $p (4)$ .
Вони дорівнюють $p (1) = 1 - 2 + 3 = 2$ , $p (2) = 4 - 4 + 3 = 3$ і $p (4) = 16 - 8 + 3 = 11$ .
Визначник є добутком власних значень: $2 \times 3 \times 11 = 66$ .

Відповідь: $66$