Навчання / Бібліотека / Лінійна алгебра

На площину

Лінійна алгебраСереднє

Нехай $P$ є матрицею $3 \times 3$ ортогональної проєкції на площину $x + 2 y + 2 z = 0$ . Який елемент стоїть у рядку $1$ , стовпці $1$ матриці $P$ ? Дайте нескоротний дріб.

Для перевірки відповіді потрібен JavaScript. Підказка й розв’язок відкриваються і без нього.

Підказка

Проєктувати на площину означає прибрати складову вздовж її нормалі.

Розв’язок

З нормаллю $n = (1, 2, 2)$ проєкція на площину дорівнює $P = I - \frac{n n ^{T}}{n ^{T} n}$ .
Тут $n^{T} n = 1 + 4 + 4 = 9$ .
Елемент у рядку $1$ , стовпці $1$ матриці $n n^{T}$ дорівнює $1 \times 1 = 1$ .
Отже, цей елемент $P$ дорівнює $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ .

Відповідь: $\frac{8}{9}$

Наступна задача Назад до бібліотеки